..3 球面の方程式

●球面の方程式と球の内外●

 

              ( xa ) 2 + ( yb ) 2 + ( zc ) 2 =r

4.1.12Cを中心, 半径rの球

 

がなりたつ。両辺を2乗すれば  ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z-c )2 = r2 が得られる。

これが, 中心 ( a, b, c ), 半径rの球の方程式である。たとえは, 中心が ( 2, -1, 3 ), 半径が4の球の方程式は

( x - 2 )2  + ( y + 1 )2 + ( z -3 )2 = 16                 (1.9)

となる。

 

前ページの式 (1) , 展開して  x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0と書き表すことも

できる。このように,球の方程式は展開すると, 一般に  x2 + y2 + z2 +Ax + By + C z + D = 0 の形になる。


 

==例題 球面の方程式=============================

 x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z + 9 = 0の中心の座標と半径を求めよ。

----------------------------------------

【解】上の式は, つぎのように変形することにより, 球の中心と半径を求めることができる。

x2 -2x + y2 + 6y + z2 -4z = - 9

( x-1 )2 + ( y + 3)2 + ( z -2)2 = - 9 + 14 = 5

したがって, 中心は ( 1, -3, 2 ), 半径は√5の球である。

========================================




 

●球面のベクトル方程式●

 空間における曲面Sが与えられたとき,点PS上にある条件を,点Pの位置ベクトル p に関する等式で表したものを,Sのベクトル形での方程式 , あるいは単にベクトル方程式という。

 たとえば,原点を中心とし,半径が2である球面をSとすれば,P p )がS上にある条件は,                                            

              | p |=2

 これが球面S のベクトル方程式である。

同様に,定点A a )を中心とし,半径rの球のベクトル方程式は

              | p a |=r

となる。ベクトル方程式からxyz に関する方程式を導くには, p =( x, y, z )  を代入すれはよい。

4.1.13 球面のベクトル方程式

 

              | p |=2から | p | 2 = 2 2 ここで      p =( x, y, z ) とすると     | p | 2 = x 2 + y 2 + z 2 であるから    x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 すなわち ,原点を中心とする半径2の球のx, y, z に関する方程式が得られた。  


 

==例題 球面===========================

 A040)を中心とし,半径が2である球上の動点をQとするとき,OQの中点Pはどのような曲面上にあるか。ただし,Oは原点である。

-----------------------------

【解】

            A, Q, P,の位置ベクトルをそれぞれ a , q , p とする。 点Qは球上の点であるから | q a |=2      (1.10

      ゆえに ,点Pは中心(0,2,0)半径1の球上にある p = 1 2 q  (1.11)

(1.11)から  q =2 p であるから,これを(1.10)に代入して

        | 2 p a |=2 | 2 p a |=2| p a 2 | であるから| p a 2 |=1 ゆえに ,点Pは中心(0,2,0)半径1の球上にある。

 

     

        4.1.14 2つの球面

 

========================================