数値積分法2

 ｆ（ｘ）をx＝−１から１まで積分したものは分点ｘ_ｉにおける関数値と重みｗ_ｉの積和で表すことができる。
　　　　ｗ_１ｆ（ｘ_１）＋ｗ_２ｆ（ｘ_２）＋・・・・・＋ｗ_ｎｆ（ｘ_ｎ）
ここに分点ｘ_ｉはＬｅｇｅｎｄｒｅの多項式Ｐ_ｉ（ｘ）＝０の根である。　
　　Ｐ_１（ｘ）＝ｘ，　Ｐ_２（ｘ）＝（３ｘ^２−１）／２，　Ｐ_３（ｘ）＝（６ｘ^３−３ｘ）／２，・・・・・。
Ｌｅｇｅｎｄｒｅの多項式は次の漸化式から求めることができる。
　　（ｎ＋１）Ｐ_ｎ＋１（ｘ）＝（２ｎ＋１）ｘＰ_ｎ（ｘ）−ｎＰ_ｎ−１（ｘ）
ー１から１まで∫Ｐｎ（ｘ）・Ｐｍ（ｘ）ｄｘ＝2／(2ｎ+1)　　　ｎ＝ｍのとき
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝0　　　　　　　　　ｎ≠ｍ　　　     　直交系である。
また重みｗ_ｉは　Ｐ_ｎ（ｘ）／（ｘ−ｘ_ｉ）を−１から１まで積分したものをＰ’_ｎ（ｘ_ｉ）で割ったものである。
  以上のことはｆ（ｘ）のＬｅｇｅｎｄｒｅ展開によって得られる。
ｘ_ｉとｗ_ｉの数値については「基礎数学演習」（共立出版）にｎ＝２，３，４，５，６
について記してあるので参照のこと。
　ａ から ｂ までの積分の場合は
　　　　ｔ＝（（ｂ−ａ）ｘ＋（ｂ＋ａ））／２
と変数変換して上記を適用すればよい。

５）ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ法
　　乱数を使用する。

　　　 サンプルいろいろ

［課題］
�@正規分布表，χ^２分布表を作れ
　確率密度関数　f(x) = exp(-x^２／２)／ √(２π)　を０から ｔ まで積分し，Ｐ(|t|>1.96）＝0.05となる根拠を示せ。
　確率密度関数　f_m(x) =2^-m/2x^(m/2-1)exp(-x/2)/Γ(m/2) を０から ｔ まで積分する。ただしmは自由度で， 分母Γはガンマ関数である。
�APlanckの公式を積分してStephan-Boltzmannの法則を導け。